逆と反例を書く練習問題プリントです。中学２年生の証明で出てくる単元で、反例の書き方や逆の文章のコツなどをわかりやすく解説しています。学校の授業やテストによく出る問題を中心に作成しているので宿題やホームスクーリング(自宅学習)にお使いください。
逆と反例の示し方
逆の定義は、「仮定」と「結論」を入れ替えたものです。
「○○ならば△△である」
これの逆は、
「△△ならば○○である」
次のことがらの逆を答えなさいという問題には、
「○○と△△を入れ替えて答えます」
例えば、
三角形の３つの角度が同じならば正三角形である
これを入れ替えると
正三角形ならば３つの角度が同じである
というふうに逆の文章にでき、成り立ちます。
しかし、問題の中には「逆が成り立つとき」と「逆がなり立たないとき」が存在します。
逆が成り立たない時は、反例を書きます。
反例とは、「当てはまらない例」を書く事です。
例えば、
２＋３は５である。
逆：５は２＋３である。
反例：「１＋４」など
よく出る問題
① a＜０、ｂ＜０ならば、ab＞０である。
逆：「ab＞０ならば、a＜０、ｂ＜０である」
【解説】ab＞0「a×bが0よりも大きいという意味」つまり、１×２、３×４などもあり、a＞０、ｂ＞０のときもあるので正しくない。
反例：「a＝３、ｂ＝２」など。
② 錯角が等しければ、２直線は平行である。
逆：「２直線が平行ならば、錯角は等しい」
※逆が成り立つので反例はない。
③ △ABCで、∠A＝90°ならば、∠B＋∠C＝90°である。
逆：「△ABCで、∠B＋∠C＝90°ならば、∠A＝90°である。」
【解説】三角形の内角の和は180°だから成り立つ。
④ aとｂのどちらも奇数ならば、abは奇数である。
逆：「abが奇数ならばaとｂはどちらも奇数である」
【解説】奇数になる掛け算は、奇数同士しかないのでこれは成り立つ。
⑤ aとｂのどちらも偶数ならば、abは偶数である。
逆：「abが偶数ならばaとｂはどちらも偶数である」
【解説】偶数になる掛け算は、「２×３」や「５×４」などがあるのでこれは成り立たない。
反例：「２×３」など。
⑥ aが偶数、ｂが奇数ならば、abは偶数である。
逆：「abが偶数ならば、aが偶数、ｂが奇数である。」
【解説】a×bで偶数になる計算は、２×２や４×６など偶数同士の計算もあるので逆は、成り立たない。
反例：「a＝２、ｂ＝４」など。
⑦ ２つの辺が等しい三角形は二等辺三角形である。
逆：「二等辺三角形は、２つの辺が等しい三角形である」
【解説】二等辺三角形の性質は「２つの辺が等しい」「底角が等しい」なのでこれは逆にしても成り立っている。
⑧ ｘ＝３、ｙ＝２ならば、ｘｙ＝６である。
逆：「ｘｙ＝６ならば、ｘ＝３、ｙ＝２である」
【解説】掛けて６になる組み合わせは１×６や－３× (－２) などがあるのでこれは成り立たない。
反例：「ｘ＝１、ｙ＝６」など。
⑨ △ABCで、AB＝ACならば、∠B＝∠Cである。
逆：「△ABCで、∠B＝∠CならばAB＝ACである」
【解説】２つの角が等しい三角形は二等辺三角形なのでこれは成り立つ。
⑩ 正方形の４つの内角は等しい
逆：「４つの内角が等しい四角形は正方形である」
【解説】４つの内角が等しい四角形は長方形の場合があるのでこれは成り立たない。
反例：「長方形」
⑪ 正方形ならば４つの辺の長さがすべて等しい。
逆：「４つの辺の長さがすべて等しいならば正方形である。」
【解説】ひし形も４つの辺の長さがすべて等しい。
反例：「ひし形」
⑫ 四角形ABCDで、AB＝BC＝CD＝DAならば、正方形である。
逆：「四角形ABCDで、正方形ならばAB＝BC＝CD＝DAである」
【解説】正方形は４つの辺が全て等しいのでこれは成り立つ。
⑬ △ABC≡△DEFならば、∠A＝∠D、∠B＝∠E、∠C＝∠Fである。
逆：「∠A＝∠D、∠B＝∠E、∠C＝∠Fならば、△ABC≡△DEFである」
【解説】角度が同じでも長さが異なる場合があるのでこれは成り立たない。
反例：「三角形を拡大すると、角の大きさは変わらないが、辺の長さが長くなり、合同とは言えなくなる」
逆と反例の練習プリント
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数学以外の例え
① サルは動物である。
逆：「動物はサルである」
【解説】動物は、サル以外にもたくさんいるのでこれは成り立たない。
反例：「イヌ」など
② カラスは鳥である。
逆：「鳥はカラスである」
【解説】鳥は、カラス以外にもたくさんいるのでこれは成り立たない。
反例：「ワシ」など
③ 中学生ならば義務教育を受けている。
逆：「義務教育を受けているならば中学生である」
【解説】義務教育を受けているのは、小学生もなのでこれは成り立たない。
反例：「小学生」
④ スマートフォンならばインターネットに接続できる。
逆：「インターネットに接続できるならスマートフォンである」
【解説】インターネットに接続できるのは、パソコンでもできるのでこれは成り立たない。
反例：「パソコン」など。
⑤ りんごは果物である。
逆：「果物はリンゴである」
【解説】果物はリンゴ以外もあるのでこれは成り立たない。
反例：「みかん」など。
⑥ 日本で一番高い山は富士山である
逆：「富士山は日本で一番高い山である」
【解説】富士山は日本で一番高い山なのでこれは成り立つ。
記事とプリントについて
この記事は、算数が苦手な子専門の個別指導塾/数楽の家によって書かれています。たくさんの子ども達と関わった経験から「こうしたらもっとよくなります！」を発信していますので参考にして頂けましたら幸いです。
プリントも、実際の授業で使ているものからさらに厳選して掲載していますので、テスト勉強や予習復習、宿題としてもお使い頂けます。学校に通ってない(不登校)生徒やホームスクーリングを取り入れているご家庭、中学受験に向けて動き出している方の自宅学習用としてもお使いください。
