二次方程式 平方完成の解き方

中3で習う二次方程式、解き方は因数分解や平方完成があります。 今回は平方完成の簡単な解き方を分かりやすく解説します。苦手な子や理解できない子でも大丈夫!解の公式や分数の時の計算もできるようになります。無料ダウンロードのプリント教材です。

中学3年生の数学で習う二次方程式は、因数分解以外にも解き方がいくつかあります。

その中でも「平方完成」という解き方を今回は分かりやすく簡単に解説していきます。

(※中学校の教科書にはx²+px+q =0で載っています) 苦手な子や理解できない子でも大丈夫です。


練習プリント

苦手な子用の練習プリントです。基本的な問題を載せているので解き方を身に付けることができます。


解説

x²+6x-2=0

まずは-2を移項します。

x²+6x=2

x²+6xを(    )²の形にしたいので6の半分の二乗である9を両辺にたします。

(※方程式なので両辺に同じことをします)

x²+6x+9=2+9

そうすると左辺x²+6x+9は(x+3)²になり、右辺は2+9で11になります。

(x+3)²=11

x+3を二乗したら11になった、という式なので  

x+3の平方根は±√11  (例 a²=9 aの平方根は±3)

x+3=±√11

+3を移項させる

答え x=-3±√11


なぜ中学校で平方完成を習うのか

中学ではすでに因数分解と解の公式を習いました。それに付け加えてなぜ平方完成を習うのでしょうか?その理由は高校で二次方程式のグラフがでてくるからです。二次方程式を平方完成の形にすることで二次関数のグラフを書くことができます。

中学校で習うグラフ
高校で習うグラフ

高校で「二次方程式のグラフ」を書く為の予行練習として中学で平方完成を習うというイメージです。


二次方程式は結局どの解き方を使えば良いの?

二次方程式の解き方は3つあります。

①「かけて〇」「たして□」になる数を探す解き方

x²+□x+〇=0

例)x²+5x+6=0 

(x+3)(x+2)=0

答え x=-3、-2

②解の公式

ax²+bx+c=0

例)x²+4x-2=0

a=1(x²の前には1が隠れているから)

b=4

c=-2

a、b、c、のそれぞれの数字を公式に代入して解きます。 

答え x=-2±√6

③平方完成

例)x²+6x-3=0

x²+6x+9=3+9

(x+3)²=12

x+3=±√12

x=-3±√12

答え x=-3±2√3

二次方程式の問題は基本的にこの3つの方法で解きます。

ではその見分け方はどうすれば良いのでしょうか?

まずは①の「かけて〇」「たして□」になる数を探します。

それで見つからない時は②の解の公式を使いましょう。


x²の前に数字があるときは?

4x²+3x+13=0 などのx²の前に数字が付いている時は、

基本的に

「かけて〇」「たして□」になる数を探す解き方ですが、思いつかない時は解の公式を使いましょう。


因数分解とは

因数分解とは掛け算の形にすることです。

( x+3 )( x-4 )などの形になおした時にかっことかっこの間はかけ算になっています。

例)2(xー5)これも因数分解の形になります。


素因数分解とは

素因数分解はある数を素数で割っていき、素数の積として表すことを言います。

例)「18」を素数の2で割ると9、9を素数の3で割ると3

つまり「18」は2×3×3=2×3²となります (同じ数は指数で表すルールがある)。

素数に分解していますね


素数とは

素数とは教科書には「1と自分自身以外に約数を持たない数」と載っていますが、これだと理解しずらいので、

素数とは「約数が2つしかない数」という言葉で覚えましょう。

例えば6という数は1、2、3、6で割り切ることができますが

3という数は1、3でしか割り切れません。

この1と3でしか割り切れないというのが「1と自分自身」という意味です。

1(1でしか割れない)

素数→2(1、2)

素数→3(1、3)

4(1,2,4)

素数→5(1,5)

6(1,2,3,6)


数楽の家では

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